Question

如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，側(cè)棱面SA⊥面ABCD，AB垂直于AD和BC，CA=AB=BC=2，AD=1，M是棱SB的中點(diǎn)
（1）求證：AM∥面SCD；
（2）求證MD⊥SB；
（3）求三棱錐S-AMD的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面平行的判定

專題：常規(guī)題型,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取SC的中點(diǎn)為E，連結(jié)ME，ED，證明ADEM為平行四邊形，從而證明AM∥平面SCD；（2）連結(jié)MD，證明SB⊥平面AMD；（3）利用面積相等轉(zhuǎn)化，求出體積．

解答： 解：（1）

如圖，取SC的中點(diǎn)為E，連結(jié)ME，ED
在△SBC中，M、E分別是SB、SC的中點(diǎn) 
∴ME∥BC，且ME=

1

2

BC
又BC=2，AD=1，且AD∥BC
∴ME∥AD，且ME=AD
∴ADEM為平行四邊形
故AM∥ED．
又ED?平面SCD，AM?平面SCD
∴AM∥平面SCD．
（2）連結(jié)MD，由題意：SA⊥平面ABCD
∴SA⊥AD
又AD⊥AB
∴AD⊥平面SAB
又SB?平面SAB
∴AD⊥SB
在△ASB中，SA⊥AB，SA=AB=2，M為SB的中點(diǎn)
∴AM⊥SB
則SB⊥平面AMD
又MD?平面AMD
∴SB⊥MD
（3）由（2）知，AD⊥平面SAB，且AD=1
∴D到平面SAB的距離為1
又在Rt△SAB中，M為SB的中點(diǎn)
S△SMA=S△MBA=

1

2

×(

1

2

×2×2)=1
∴VS-AMD=VD-SMA=

1

3

S△SMA•AD
=

1

3

×1×1=

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題全面考查了空間中的平行與垂直，同時(shí)涉及了轉(zhuǎn)化的思想，綜合性較大，屬于中檔題．