Question

已知函數(shù)（為實(shí)數(shù)，），，⑴若，且函數(shù)的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720125923052819/SYS201411172013114966219947_ST/SYS201411172013114966219947_ST.007.png">，求的表達(dá)式；

⑵設(shè)，且函數(shù)為偶函數(shù)，判斷是否大0？

⑶設(shè)，當(dāng)時(shí)，證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)，(其中是的導(dǎo)函數(shù)) ．

 

Answer 1

（1），（2）成立，（3）證明略.

【解析】

試題分析：（1）由于的表達(dá)式與有關(guān)，而確定的表達(dá)式只需求出待定系數(shù)，因此只要根據(jù)題目條件聯(lián)立關(guān)于的兩個(gè)關(guān)系即可；（2）由為偶函數(shù)可先確定，而可不妨假設(shè)，則，代入的表達(dá)式即可判斷的符號(hào)；（3）原不等式證明等價(jià)于證明“對(duì)任意實(shí)數(shù)，” 即等價(jià)于證明“ ”，可先證，再證.根據(jù)不等式性質(zhì)，可證得.

試題解析：⑴因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720125923052819/SYS201411172013114966219947_DA/SYS201411172013114966219947_DA.017.png">，所以，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720125923052819/SYS201411172013114966219947_DA/SYS201411172013114966219947_DA.006.png">的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720125923052819/SYS201411172013114966219947_DA/SYS201411172013114966219947_DA.019.png">，所以，所以，所以，所以；

⑵因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720125923052819/SYS201411172013114966219947_DA/SYS201411172013114966219947_DA.023.png">是偶函數(shù)，所以，又，所以，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720125923052819/SYS201411172013114966219947_DA/SYS201411172013114966219947_DA.027.png">，不妨設(shè)，則，又，所以，此時(shí)，所以；

⑶因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720125923052819/SYS201411172013114966219947_DA/SYS201411172013114966219947_DA.012.png">，所以，又，則，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720125923052819/SYS201411172013114966219947_DA/SYS201411172013114966219947_DA.034.png">，所以，則原不等式證明等價(jià)于證明“對(duì)任意實(shí)數(shù)，” 即 .

先研究 ，再研究.

① 記，，令，得，當(dāng)，時(shí)，單增；當(dāng)，時(shí)，單減. 所以，，即.

② 記，，所以在,單減，所以，，即.

綜上①、②知，.

即原不等式得證，對(duì)任意實(shí)數(shù)，.

考點(diǎn)：二次函數(shù)表達(dá)式的求解，分段函數(shù)求值問(wèn)題，用導(dǎo)數(shù)工具證明不等式，不等式的性質(zhì)，化歸與轉(zhuǎn)化的思想.