Question

已知函數(shù)f(x)=2sin2(

π

4

-x)-

3

cos2x，
（1）求f（x）的最小正周期和單調(diào)減區(qū)間；
（2）若f（x）＜m+2在[0，

π

6

]上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行變形，使f（x）=Asin（ωx+φ）+B（ω＞0）的形式，可求其最小正周期，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法可求其減區(qū)間；
（2）要使f（x）＜m+2在[0，

π

6

]上恒成立，只要x∈[0，

π

6

]時(shí)f（x）_max＜m+2即可．

解答：解：（1）f(x)=2sin2(

π

4

-x)-

3

cos2x
=1-cos（

π

2

-2x）-

3

cos2x
=1-sin2x-

3

cos2x
=1-2sin（2x+

π

3

），
故最小正周期T=

2π

2

=π，
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，得-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ（k∈Z），
所以函數(shù)f（x）的最小正周期為π，單調(diào)減區(qū)間為[-

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ]（k∈Z）．
（2）x∈[0，

π

6

]，則2x+

π

3

∈[

π

3

，

2π

3

]，則sin（2x+

π

3

）∈[

3

2

，1]，
則f（x）∈[-1，1-

3

]，即f（x）在[0，

π

6

]上的值域?yàn)閇-1，1-

3

]．
因?yàn)閒（x）＜m+2在[0，

π

6

]上恒成立，所以m+2＞1-

3

，
解得m＞-1-

3

．
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-1-

3

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題及三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性，函數(shù)恒成立問(wèn)題往往需要轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題進(jìn)行處理．