Question

18．已知橢圓L：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一個焦點于拋物線y²=8x的焦點重合，點（2，$\sqrt{2}$）在L 上．
（Ⅰ）求L 的方程；
（Ⅱ）直線l不過原點O且不平行于坐標(biāo)軸，l與L有兩個交點A，B，線段AB的中點為M，證明：OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得拋物線的焦點，可得c=2，再由點滿足橢圓方程，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，解方程可得橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=kx+b（k，b≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入橢圓方程，運用韋達定理和中點坐標(biāo)公式可得M的坐標(biāo)，可得直線OM的斜率，進而得到證明．

解答 解：（Ⅰ）拋物線y²=8x的焦點為（2，0），
由題意可得c=2，即a²-b²=4，
又點（2，$\sqrt{2}$）在L上，可得
$\frac{4}{{a}^{2}}$+$\frac{2}{^{2}}$=1，
解得a=2$\sqrt{2}$，b=2，
即有橢圓L：$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（Ⅱ）證明：設(shè)直線l的方程為y=kx+b（k，b≠0），
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
將直線y=kx+b代入橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，可得
（1+2k²）x²+4kbx+2b²-8=0，
x₁+x₂=-$\frac{4kb}{1+2{k}^{2}}$，
即有AB的中點M的橫坐標(biāo)為-$\frac{2kb}{1+2{k}^{2}}$，縱坐標(biāo)為-k•$\frac{2kb}{1+2{k}^{2}}$+b=$\frac{1+2{k}^{2}}$，
直線OM的斜率為k_OM=$\frac{{y}_{M}}{{x}_{M}}$=-$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{k}$，
即有k_OM•k=-$\frac{1}{2}$．
則OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用點滿足橢圓方程和a，b，c的關(guān)系，考查直線和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理和中點坐標(biāo)公式，以及直線的斜率公式，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．