Question

8．若x，y滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}3x-4≥0\\ y≥1\\ 3x+y-6≤0\end{array}\right.$，表示平面區(qū)域?yàn)镈，已知點(diǎn)O（0，0），A（1，0），點(diǎn)M是D上的動(dòng)點(diǎn)，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OM}=λ|\overrightarrow{OM}|$，則λ的最大值為$\frac{{5\sqrt{34}}}{34}$．

Answer 1

分析 作出可行域，由題意和數(shù)量積的運(yùn)算可得λ=$\sqrt{\frac{1}{1+（\frac{y}{x}）^{2}}}$，數(shù)形結(jié)合由斜率的意義求出k=$\frac{y}{x}$的最小值可得．

解答 解：作出不等式組$\left\{\begin{array}{l}3x-4≥0\\ y≥1\\ 3x+y-6≤0\end{array}\right.$所對(duì)應(yīng)的可行域D（如圖△MNP），
由題意可得$\overrightarrow{OA}$=（1，0），設(shè)M（x，y），則$\overrightarrow{OM}$=（x，y），
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OM}=λ|\overrightarrow{OM}|$可化為x=λ$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，
則λ=$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{1}{1+（\frac{y}{x}）^{2}}}$，
數(shù)形結(jié)合可知當(dāng)取區(qū)域中的點(diǎn)M（$\frac{5}{3}$，1）與原點(diǎn)連線的斜率k=$\frac{y}{x}$取最小值$\frac{3}{5}$，
λ=$\sqrt{\frac{1}{1+（\frac{y}{x}）^{2}}}$取最大值$\sqrt{\frac{1}{1+（\frac{3}{5}）^{2}}}$=$\frac{{5\sqrt{34}}}{34}$，
故答案為：$\frac{{5\sqrt{34}}}{34}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡單線性規(guī)劃，準(zhǔn)確作圖并變形目標(biāo)函數(shù)利用斜率的范圍是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．