Question

（1）已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=3n²-2n，求證數(shù)列{a_n}成等差數(shù)列．
（2）已知

1

a

，

1

b

，

1

c

成等差數(shù)列，求證

b+c

a

，

c+a

b

，

a+b

c

也成等差數(shù)列．

Answer 1

分析：（1）先利用an=

S1，當n=1時 Sn-Sn-1，當n≥2時

求出數(shù)列{a_n}的通項公式a_n，再利用等差數(shù)列的定義或根據(jù)求出的通項公式即可證明；
（2）利用等差數(shù)列的定義或等差中項的意義即可證明．

解答：（1）證明：當n=1時，a₁=S₁=3-2=1，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=3n²-2n-[3（n-1）²-2（n-1）]=6n-5，
n=1時，亦滿足，∴a_n=6n-5（n∈N^*）．
首項a₁=1，a_n-a_n-1=6n-5-[6（n-1）-5]=6（常數(shù)）（n∈N^*），
∴數(shù)列{a_n}成等差數(shù)列且a₁=1，公差為6．
（2）∵

1

a

，

1

b

，

1

c

成等差數(shù)列，
∴

2

b

=

1

a

+

1

c

化簡得2ac=b（a+c）．
∴

b+c

a

+

a+b

c

=

bc+c2+a2+ab

ac

=

2ac+a2+c2

ac

=

(a+c)2

ac

=

(a+c)2

b(a+c) 2

=

2(a+c)

b

．
∴

b+c

a

，

c+a

b

，

a+b

c

也成等差數(shù)列．

點評：熟練掌握利用an=

S1，當n=1時 Sn-Sn-1，當n≥2時

求出數(shù)列{a_n}的通項公式a_n、等差數(shù)列的定義及通項公式、等差中項是解題的關鍵．