Question

【題目】已知函數(shù)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))．

(I)若的單調(diào)性；

(II)若，函數(shù)內(nèi)存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)答案見解析；(Ⅱ).

【解析】

（I）定義域?yàn)?/span>，且，利用導(dǎo)函數(shù)討論可得：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．

（Ⅱ）由函數(shù)的解析式可得，令，分類討論，和三種情況可得實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

（I）定義域?yàn)?/span>

故則

(1)若，則在上單調(diào)遞減；

(2)若，令.

①當(dāng)時(shí)，則，因此在上恒有，即在上單調(diào)遞減；

②當(dāng)時(shí)，，因而在上有，在上有；因此在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

綜上，(1)當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；

(2)當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．

（Ⅱ）設(shè),

，設(shè)，

則．

(1)若,

在單調(diào)遞減，

故此時(shí)函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，不合題意.

(2)若,

①當(dāng)時(shí)，，由（1）知對(duì)任意恒成立，

故，對(duì)任意恒成立，

②當(dāng)時(shí),

，

因此當(dāng)時(shí)必有零點(diǎn)，記第一個(gè)零點(diǎn)為，

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，.

由①②可知，當(dāng)時(shí)，必存在零點(diǎn).

(2)當(dāng)，考察函數(shù)，

由于

在上必存在零點(diǎn).設(shè)在的第一個(gè)零點(diǎn)為，則當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，

又，

所以當(dāng)時(shí)，，從而在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)恒有.即，

令，則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.即注意到，

因此，

令時(shí)，則有，

由零點(diǎn)存在定理可知函數(shù)在上有零點(diǎn)，符合題意.

綜上可知，的取值范圍是.