【題目】已知是由具有公共直角邊的兩塊直角三角板(與)組成的三角形,如左下圖所示.其中,.現將沿斜邊進行翻折成(不在平面上).若分別為和的中點,則在翻折過程中,下列命題不正確的是( )
A. 在線段上存在一定點,使得的長度是定值
B. 點在某個球面上運動
C. 存在某個位置,使得直線與所成角為
D. 對于任意位置,二面角始終大于二面角
【答案】C
【解析】分析:由題意,可的二面角和二面角由共同的平面角,
且另一個面都過點,過點作平面的垂線,即可得到二面角和二面角的平面角,進而的大小關系即可.
詳解:不妨設,取中點,易知落在線段 上,且,
所以點到點的距離始終為,即點在以點為球心,半徑為的球面上運動,
因此A、B選項不正確;
對于C選項,作可以看成以為軸線,以為平面角的圓錐的母線,易知與落在同一個軸截面上時, 取得最大值,則的最大值為,此時落在平面上,所以,即與所成的角始終小于,所以C選項不正確;
對于D選項,易知二面角為直二面角時,二面角始終大于二面角,當二面角為銳二面角時,如圖所示作平面與點,然后作分別交于,
則二面角的平面角為,二面角的平面角為,
且,
又因為,所以,
所以二面角始終大于二面角,故選D.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知兩動圓和(),把它們的公共點的軌跡記為曲線,若曲線與軸的正半軸的交點為,且曲線上的相異兩點滿足:.
(1)求曲線的軌跡方程;
(2)證明直線恒經過一定點,并求此定點的坐標;
(3)求面積的最大值.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】拋物線有如下光學性質:由其焦點射出的光線經拋物線反射后,沿平行于拋物線對稱軸的方向射出.現有拋物線,如圖一平行于軸的光線射向拋物線,經兩次反射后沿平行軸方向射出,若兩平行光線間的最小距離為4,則該拋物線的方程為__________.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】水稻是人類重要的糧食作物之一,耕種與食用的歷史都相當悠久,日前我國南方農戶在播種水稻時一般有直播、撒酒兩種方式.為比較在兩種不同的播種方式下水稻產量的區(qū)別,某市紅旗農場于2019年選取了200塊農田,分成兩組,每組100塊,進行試驗.其中第一組采用直播的方式進行播種,第二組采用撒播的方式進行播種.得到數據如下表:
產量(單位:斤) 播種方式 | [840,860) | [860,880) | [880,900) | [900,920) | [920,940) |
直播 | 4 | 8 | 18 | 39 | 31 |
散播 | 9 | 19 | 22 | 32 | 18 |
約定畝產超過900斤(含900斤)為“產量高”,否則為“產量低”
(1)請根據以上統(tǒng)計數據估計100塊直播農田的平均產量(同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值為代表)
(2)請根據以上統(tǒng)計數據填寫下面的2×2列聯表,并判斷是否有99%的把握認為“產量高”與“播種方式”有關?
產量高 | 產量低 | 合計 | |
直播 | |||
散播 | |||
合計 |
附:
P(K2≥k0) | 0.10 | 0.010 | 0.001 |
k0 | 2.706 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】在直角坐標系xOy中,以O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,直線l的參數方程為 (t為參數),曲線C1的方程為ρ(ρ-4sin θ)=12,定點A(6,0),點P是曲線C1上的動點,Q為AP的中點.
(1)求點Q的軌跡C2的直角坐標方程;
(2)直線l與直線C2交于A,B兩點,若|AB|≥2,求實數a的取值范圍.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】線段AB為圓的一條直徑,其端點A,B在拋物線 上,且A,B兩點到拋物線C焦點的距離之和為11.
(1)求拋物線C的方程及直徑AB所在的直線方程;
(2)過M點的直線l交拋物線C于P,Q兩點,拋物線C在P,Q處的切線相交于N點,求面積的取值范圍.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,曲線的參數方程為(為參數),以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.
(1)求曲線的普通方程和的直角坐標方程;
(2)已知曲線的極坐標方程為,點是曲線與的交點,點是曲線與的交點,、均異于原點,且,求實數的值.
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