Question

5．第17屆亞洲運(yùn)動(dòng)會(huì)于2014年9月19日--10月4日在韓國(guó)仁川舉行．現(xiàn)有5個(gè)人去觀看某日下午的比賽，根據(jù)組委會(huì)安排當(dāng)天下午有甲、乙兩場(chǎng)比賽，5人約定：每一個(gè)人通過(guò)一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己觀看哪場(chǎng)比賽，擲出點(diǎn)數(shù)為1或2的人去觀看甲場(chǎng)比賽，擲出點(diǎn)數(shù)大于2的人去觀看乙場(chǎng)比賽．
（1）求這5個(gè)人中恰有2人去觀看甲場(chǎng)比賽的概率；
（2）求這5個(gè)人中去觀看甲場(chǎng)比賽的人數(shù)大于去觀看乙場(chǎng)比賽的人數(shù)的概率；
（3）用X，Y分別表示這5個(gè)人中觀看甲、乙場(chǎng)比賽的人數(shù)，記ξ=|X-Y|，求隨機(jī)變量ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析 （1）用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)解決本題；
（2）設(shè)“這5個(gè)人中去觀看甲場(chǎng)比賽的人數(shù)大于去觀看乙場(chǎng)比賽的人數(shù)”為事件B，則B=A₃∪A₄∪A₅，由于A₃與A₄與A₅互斥，故P（B）=P（A₃）+P（A₄）+P（A₅）．
（3）列出ξ的所有可能取值，求出各自概率，即可求隨機(jī)變量ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望Eξ．

解答 解：依題意知，這5個(gè)人中，每個(gè)人去觀看甲場(chǎng)比賽的概率為$\frac{1}{3}$，去觀看乙場(chǎng)比賽的概率為$\frac{2}{3}$．
設(shè)“這5個(gè)人中恰有i人去觀看甲場(chǎng)比賽”為事件A_i（i=0，1，2，3，4，5），則$P（{A_i}）=C_5^i{（\frac{1}{3}）^i}{（\frac{2}{3}）^{5-i}}$．
（1）這5個(gè)人中恰有2人去觀看甲場(chǎng)比賽的概率$P（{A_2}）=C_5^2{（\frac{1}{3}）^2}{（\frac{2}{3}）^3}=\frac{80}{243}$．
（2）設(shè)“這5個(gè)人中去觀看甲場(chǎng)比賽的人數(shù)大于去觀看乙場(chǎng)比賽的人數(shù)”為事件B，則B=A₃∪A₄∪A₅，由于A₃與A₄與A₅互斥，故P（B）=P（A₃）+P（A₄）+P（A₅）．
$P（B）=C_5^3{（\frac{1}{3}）^3}{（\frac{2}{3}）^2}+C_5^4{（\frac{1}{3}）^4}{（\frac{2}{3}）^1}+C_5^5{（\frac{1}{3}）^5}{（\frac{2}{3}）^0}$=$\frac{17}{81}$
所以這5個(gè)人中去觀看甲場(chǎng)比賽的人數(shù)大于去觀看乙場(chǎng)比賽的人數(shù)的概率為$\frac{17}{81}$．
（3）ξ的所以可能的取值為1，3，5，$P（ξ=1）=P（{A_2}）+P（{A_3}）=\frac{40}{81}$$P（ξ=3）=P（{A_1}）+P（{A_4}）=\frac{10}{27}$，$P（ξ=5）=P（{A_0}）+P（{A_5}）=\frac{11}{81}$
所以ξ的分布列為

ξ	1	3	5
P	$\frac{40}{81}$	$\frac{10}{27}$	$\frac{11}{81}$

故$Eξ=1×\frac{40}{81}+3×\frac{10}{27}+5×\frac{11}{81}=\frac{185}{81}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)和隨機(jī)變量的期望，屬中檔題型，高考�？碱}型．