Question

已知數(shù)列{a_n}是一個公差大于零的等差數(shù)列，且a₁a₅=45，a₂+a₄=18，數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，且S_n=2b_n-2．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）設(shè)c_n=a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n；
（3）將數(shù)列{b_n}中第a₁項，第a₂項，…，第a_n項，…刪去后，剩余的項按從小到大的順序排成新數(shù)列{d_n}，求數(shù)列{d_n}的前2014項和M₂₀₁₄．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）等差數(shù)列{a_n}公差d＞0，利用等差數(shù)列的通項公式可得

a1(a1+4d)=45 2a1+4d=18

，解得即可．
數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，且S_n=2b_n-2．可得n=1時b₁=2b₁-2，解得b₁．當(dāng)n≥2時，b_n=S_n-S_n-1，化為b_n=2b_n-1，利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）c_n=a_n•b_n=3n•2ⁿ，利用“錯位相減法”可得數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．
（3）將數(shù)列{b_n}中第a₁項，第a₂項，…，第a_n項，…刪去后，剩余的項按從小到大的順序排成新數(shù)列{d_n}，
可得d₁=b₁=2，d₂=b2=22，d₃=b₄=2⁴，d4=25，…，其奇數(shù)項與偶數(shù)項分別組成公比均為8的等比數(shù)列．
利用等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答： 解：（1）∵等差數(shù)列{a_n}公差d＞0，且a₁a₅=45，a₂+a₄=18，
∴

a1(a1+4d)=45 2a1+4d=18

，解得

a1=3 d=3

．
∴a_n=3+3（n-1）=3n．
∵數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，且S_n=2b_n-2．
∴n=1時b₁=2b₁-2，解得b₁=2．當(dāng)n≥2時，
b_n=S_n-S_n-1=2b_n-2-（2b_n-1-2），化為b_n=2b_n-1，
∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，b_n=2ⁿ．
（2）c_n=a_n•b_n=3n•2ⁿ，則數(shù)列{c_n}的前n項和T_n=3（2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ），
2T_n=3[2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹]，
兩式相減可得：-T_n=3（2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹）=

3×2(2n-1)

2-1

-3n•2n+1=3（1-n）•2ⁿ⁺¹-6，
化為T_n=6+3（n-1）•2ⁿ⁺¹．
（3）將數(shù)列{b_n}中第a₁項，第a₂項，…，第a_n項，…刪去后，剩余的項按從小到大的順序排成新數(shù)列{d_n}，
則d₁=b₁=2，d₂=b2=22，d₃=b₄=2⁴，d4=25，…，
則其奇數(shù)項與偶數(shù)項分別組成公比均為8的等比數(shù)列．
數(shù)列{d_n}的前2014項和M₂₀₁₄=（d₁+d₃+…+d₂₀₁₃）+（d₂+d₄+…+d₂₀₁₄）
=

2(81007-1)

8-1

+

4(81007-1)

8-1

=

6(81007-1)

7

．

點評：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“錯位相減法”、分類討論思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．