Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sin（

πx

3

-

π

3

﹚-1．
（1）求函數(shù)最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若函數(shù)y=g（x）與y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，求當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，函數(shù)y=g（x）的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的周期性及其求法,正弦函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）的解析式求得它的周期，令2kπ-

π

2

≤

π

3

x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范圍，可得函數(shù)的增區(qū)間．
（2）當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，函數(shù)y=g（x）的最大值，即為x∈[3，4]時(shí)，函數(shù)y=f（x）的最大值．再根據(jù)x∈[3，4]時(shí)，利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得，f（x）的最大值．

解答： 解：（1）對(duì)于函數(shù)f（x）=

3

sin（

πx

3

-

π

3

﹚-1，它的周期為T(mén)=

2π

π 3

=6，
令2kπ-

π

2

≤

π

3

x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得6k-

1

2

≤x≤6k+

5

2

，故函數(shù)的增區(qū)間為[6k-

1

2

，6k+

5

2

]．
（2）若函數(shù)y=g（x）與y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，
故當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，函數(shù)y=g（x）的最大值，即為x∈[3，4]時(shí)，函數(shù)y=f（x）的最大值．
再根據(jù)x∈[3，4]時(shí)，

πx

3

-

π

3

∈[

2π

3

，π]，故當(dāng)

πx

3

-

π

3

=

2π

3

時(shí)，f（x）=

3

sin（

πx

3

-

π

3

﹚-1取得最大值為

3

×

3

2

-1=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，正弦函數(shù)的定義域和值域，現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．