Question

（1）已知的圖象為雙曲線，在雙曲線的兩支上分別取點(diǎn)P，Q，則線段PQ的最小值為    ；
（2）已知的圖象為雙曲線，在此雙曲線的兩支上分別取點(diǎn)P，Q，則線段PQ的最小值為    ．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)雙曲線的性質(zhì)，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)雙曲線的中心被雙曲線截得的實(shí)軸長(zhǎng)是線段是PQ的最小值．因此，求出雙曲線的實(shí)軸所在直線為y=x，再求y=x與雙曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到線段PQ的最小值．
（2）類似（1）的原理，利用導(dǎo)數(shù)工具求出雙曲線的實(shí)軸所在直線為y=（-2）x，再聯(lián)解直線與雙曲線方程，得到交點(diǎn)坐標(biāo)后再用兩點(diǎn)間的距離公式，可算出線段PQ的最小值．
解答：解：（1）∵的圖象為雙曲線，兩條漸近線分別為x軸和y軸
∴雙曲線的實(shí)軸在直線y=x上，直線y=x被雙曲線截得的線段長(zhǎng)等于PQ的最小值
聯(lián)解，得交點(diǎn)為（1，1）和（-1，-1）
∴線段PQ的最小值為=2
（2）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為y′=+＞，
所以函數(shù)的漸近線方程為：x=0與y=x，
可得兩條漸近線的角平分線與x軸所成的傾斜角為-15°，
其方程為：y=tan（-15°）x，即y=（-2）x，
因此，兩條漸近線的角平分線與函數(shù)的交點(diǎn)為：
（，-），（-，），
因此，線段PQ的最小值為
=2-2．
故答案為：2，2-2
點(diǎn)評(píng)：本題給出雙曲線的方程，求直線被雙曲線截得線段PQ的最小值．著重考查了雙曲線的性質(zhì)、兩點(diǎn)間的距離公式和運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象等知識(shí)，屬于中檔題．