Question

已知函數(shù)f(x)=cos(2x-

π

3

)+sin(2x-

π

6

)+2cos2x
（1）求f（x）的對(duì)稱軸方程及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[-

π

4

，

π

3

]時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）利用兩角和與差的三角函數(shù)公式將f（x）=cos（2x-

π

3

）+sin（2x-

π

6

）+2cos²x化簡(jiǎn)為：f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求f（x）的對(duì)稱軸方程及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）由x∈[-

π

4

，

π

3

]，可求得2x+

π

6

的范圍，利用弦函數(shù)的性質(zhì)可求得函數(shù)的值域．

解答：解：（1）∵f（x）=cos（2x-

π

3

）+sin（2x-

π

6

）+2cos²x
=cos2xcos

π

3

+sin2xsin

π

3

+sin2xcos

π

6

-cos2xsin

π

6

+cos2x+1
=sin2x+cos2x+1
=2sin（2x+

π

6

）+1，…4分
由2x+

π

6

=kπ+

π

2

（k∈Z）得：
x=

kπ

2

+

π

6

k∈Z…5分
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）得：
kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

（k∈Z）…6分
∴f（x）的對(duì)稱軸方程x=

kπ

2

+

π

6

k∈Z，
單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）…8分
（2）∵x∈[-

π

4

，

π

3

]，
∴2x+

π

6

∈[-

π

3

，

5π

6

]，…9分
則2x+

π

6

=-

π

3

即x=-

π

4

時(shí)，f（x）_min=1-

3

…10分
當(dāng)2x+

π

6

=

π

2

即x=

π

6

時(shí)，f（x）_max=3…11分，
故函數(shù)f（x）在x∈[-

π

4

，

π

3

]上的值域?yàn)椋篬1-

3

，3]…12分

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和與差的正弦與余弦，考查三角變換與輔助角公式的應(yīng)用，突出考查正弦函數(shù)的對(duì)稱軸與單調(diào)性，屬于中檔題．