Question

1．z是復(fù)數(shù)，z+i，z-3i是實(shí)系數(shù)一元二次方程x²+tx+4=0（t∈R）的兩個(gè)虛根．
（1）求t的值．
（2）設(shè)ω=z+cosθ+isinθ，求|ω|取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)z=a+bi，則b+1=3-b，從而實(shí)系數(shù)一元二次方程x²+tx+4=0（t∈R）的兩個(gè)虛根是a±2i，由此能求出z=i，t=0．
（2）由（1）得|ω|=$\sqrt{co{s}^{2}θ+（1+sinθ）^{2}}$=$\sqrt{2+2sinθ}$，由此能求出|ω|的值．

解答 解：（1）∵z是復(fù)數(shù)，z+i，z-3i是實(shí)系數(shù)一元二次方程x²+tx+4=0（t∈R）的兩個(gè)虛根，
∴設(shè)z=a+bi，則z+i，z-3i分別是a+（b+1）i，a+（b-3）i，
∴b+1=3-b 所以b=1，
∴實(shí)系數(shù)一元二次方程x²+tx+4=0（t∈R）的兩個(gè)虛根是a±2i，
∴4=（a+2i）（a-2i）=a²+4，-t=（a+2i）+（a-2i）=2a，
∴a=0，t=0，
∴z=i，t=0．
（2）由（1）得ω=z+cosθ+isinθ=i+cosθ+isinθ，
∴|ω|=$\sqrt{co{s}^{2}θ+（1+sinθ）^{2}}$=$\sqrt{co{s}^{2}θ+1+si{n}^{2}θ+2sinθ}$=$\sqrt{2+2sinθ}$，
∵-1≤sinθ≤1，
∴|ω|=$\sqrt{2+2sinθ}$的取值范圍是[0，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查復(fù)數(shù)的模的取值范圍的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意復(fù)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．