Question

11．已知過圓錐頂點S作截面SAB與底面成60°的二面角，且A、B分底面圓周為1：2的弧度，已知截面SAB的面積為24$\sqrt{3}$，求：
（1）底面圓心到平面SAB的距離．
（2）母線與底面所成角的大�。�

Answer 1

分析 （1）∠AOB=120°，用底面半徑表示出AB和SC，根據(jù)面積求出底面半徑，利用二面角得出圓錐額高SO，根據(jù)等積法求出O到平面SAB的距離；
（2）根據(jù)圓錐的高與底面半徑的比值求出線面角．

解答 解：（1）∵A、B分底面圓周為1：2的圓弧，∴∠AOB=120°，
過O作OC⊥AB于C，連結(jié)SC，則∠SCO=60°，
設(shè)底面半徑OA=r，則OC=$\frac{1}{2}r$，AB=2$\sqrt{{r}^{2}-\frac{{r}^{2}}{4}}$=$\sqrt{3}r$，SC=2OC=r，∴SO=$\frac{\sqrt{3}}{2}r$，
∵S_△SAB=$\frac{1}{2}AB×SC$=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}r×r$=24$\sqrt{3}$，∴r=4$\sqrt{3}$．∴SO=6，
設(shè)圓心O到平面SAB的距離為h，
則V_棱錐S-OAB=$\frac{1}{3}{S}_{△OAB}•SO$=$\frac{1}{3}{S}_{△SAB}•h$．
∴h=$\frac{{S}_{△OAB}•SO}{{S}_{△SAB}}$=$\frac{\frac{1}{2}×（4\sqrt{3}）^{2}×sin120°×6}{24\sqrt{3}}$=3．
即底面圓心到平面SAB的距離為3．
（2）在Rt△SOB中，tan∠SBO=$\frac{SO}{OB}$=$\frac{6}{4\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴∠SBO=arctan$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
即母線與底面所成角的大小為arctan$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查了圓錐的結(jié)構(gòu)特征，棱錐的體積計算，屬于中檔題．