Question

若集合{x|x+a=a|x|，x∈R}為單元素集，則實數a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數的零點,集合的表示法

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：當a=0時，方程x+a=a|x|①的解為x=0，滿足條件；當a≠0時顯然0不是其解，①的解為當x＞0時x=

a

a-1

，當x＜0時，x=-

a

a+1

，對a的取值分類討論，即可確定實數a的取值范圍．

解答： 解：當a=0時，方程x+a=a|x|①的解為x=0，滿足條件；
當a≠0時顯然0不是其解，①的解為當x＞0時x=

a

a-1

，當x＜0時，x=-

a

a+1

下面對a的取值分類討論
當0＜a＜1時x=

a

a-1

，（舍去）x=-

a

a+1

＜0滿足條件；
當a=1時①只有一解為，x=-

a

a+1

滿足條件；
當a＞1時顯然方程有二解舍去
當-1≤a＜0時①只有一根為x=

a

a-1

，當a＜-1時①有二解x=

a

a-1

，x=-

a

a+1

（舍去）．
綜上a的范圍是-1≤a≤1
故答案為：-1≤a≤1．

點評：本題考查實數a的取值范圍，考查分類討論的數學思想，考查學生分析解決問題的能力，比較基礎．