Question

15．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow$=（-2，3）
（1）求向量$\overrightarrow{a}$與向量$\overrightarrow$的夾角的余弦值
（2）若k$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow$與2$\overrightarrow{a}$$-\overrightarrow$共線，求k的值．

Answer 1

分析 （1）由題意利用兩個向量坐標形式的運算法則，兩個向量的數量積的定義，求得cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}$ 的值．
（2）先求得k$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow$與2$\overrightarrow{a}$$-\overrightarrow$的坐標，再利用兩個向量共線的性質求得k的值．

解答 解：（1）設向量$\overrightarrow{a}$與向量$\overrightarrow$的夾角為θ，∵向量$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow$=（-2，3），
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=-2+6=4，|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{5}$，|$\overrightarrow$|=$\sqrt{4+9}$=$\sqrt{13}$，∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}$=$\frac{4}{\sqrt{5}•\sqrt{13}}$=$\frac{4\sqrt{65}}{65}$．
（2）∵k$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow$=（ k-2，2k+3），2$\overrightarrow{a}$$-\overrightarrow$=（4，1），
若k$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow$與2$\overrightarrow{a}$$-\overrightarrow$共線，則（k-2）×1-（2k+3）•4=0，求得k=-2．

點評 本題主要考查兩個向量坐標形式的運算，兩個向量的數量積的定義，兩個向量共線的性質，屬于基礎題．