Question

6．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=$\sqrt{{a}_{n}}$，則a_n=${2}^{{2}^{1-n}}$．

Answer 1

分析 把已知數(shù)列遞推式兩邊取對(duì)數(shù)，可得數(shù)列{lga_n}是以lga₁=lg2為首項(xiàng)，以$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)得答案．

解答 解：由${a}_{n+1}=\sqrt{{a}_{n}}$，
得$lg{a}_{n+1}=lg\sqrt{{a}_{n}}=\frac{1}{2}lg{a}_{n}$，
∴數(shù)列{lga_n}是以lga₁=lg2為首項(xiàng)，以$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，
則$lg{a}_{n}=（\frac{1}{2}）^{n-1}lg2=lg{2}^{{2}^{1-n}}$．
∴${a}_{n}={2}^{{2}^{1-n}}$．
故答案為：${2}^{{2}^{1-n}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查等比關(guān)系的確定，是中檔題．