Question

【題目】（本小題滿分14分）

如圖，四邊形是正方形，△與△均是以為直角頂點的等腰直角三角形，點是的中點，點是邊上的任意一點.

（1）求證： ；

（2）求二面角的平面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】試題分析：第（1）小題設計為證明，只需證明平面；第（2）小題求二面角的大小，解決方法多樣，既可以用綜合法，也可以用向量法求解．

試題解析：（1）證明：∵是的中點，且，∴．

∵ △與△均是以為直角頂點的等腰直角三角形，

∴，．

∵，平面，平面，

∴平面．

∵平面， ∴．

∵ 四邊形是正方形∴．

∵，平面，平面，

∴平面．

∵平面，∴．

∵，平面，平面，

∴平面．

∵平面，∴．

（2）解法1：作于，連接，

∵⊥平面，平面∴．

∵，平面，平面，

∴⊥平面．

∵平面，∴．

∴∠為二面角的平面角．

設正方形的邊長為，則，，

在Rt△中，在Rt△中，

，，

在Rt△中，．

所以二面角的平面角的正弦值為．

解法2：以為坐標原點，分別以所在直線為軸，軸，軸 ，

建立空間直角坐標系，設，

則，，,．

∴，．

設平面的法向量為，由得

令，得，∴為平面的一個法向量．

∵平面，平面，∴ 平面平面．

連接，則．

∵ 平面平面，平面，

∴平面．

∴ 平面的一個法向量為．

設二面角的平面角為，

則．

∴．

∴ 二面角的平面角的正弦值為．