Question

4．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）圖象相鄰的一個最大值點和一個對稱中心分別為（$\frac{π}{6}$，2），（$\frac{5π}{12}$，0），則g（x）=f（x）cos2x在區(qū)間[0，$\frac{π}{4}$）的值域為[0，$\frac{3}{2}$]．

Answer 1

分析 由函數(shù)的最值求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，可得f（x）的解析式，再利用三角恒等變換求得g（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得g（x）=f（x）cos2x在區(qū)間[0，$\frac{π}{4}$）的值域

解答 解：函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）圖象相鄰的一個最大值點和一個對稱中心
分別為（$\frac{π}{6}$，2），（$\frac{5π}{12}$，0），∴A=2，
∴$\frac{T}{4}$=$\frac{1}{4}•\frac{2π}{ω}$=$\frac{5π}{12}$-$\frac{π}{6}$，∴ω=2，∴2•$\frac{π}{6}$+φ=$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{6}$，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
g（x）=f（x）cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）•cos2x=（2sin2x•$\frac{\sqrt{3}}{2}$+2cos2x•$\frac{1}{2}$）•cos2x
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin4x+$\frac{1+cos4x}{2}$=sin（4x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$．
∵在區(qū)間[0，$\frac{π}{4}$）上，4x+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$），sin（4x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
則g（x）=f（x）cos2x在區(qū)間[0，$\frac{π}{4}$）的值域為[0，$\frac{3}{2}$]，
故答案為：[0，$\frac{3}{2}$]．

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，三角恒等變換，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．