Question

11．給出下列結(jié)論：動點M（x，y）分別到兩定點（-4，0），（4，0）連線的斜率之積為-$\frac{9}{16}$，設(shè)M（x，y）的軌跡為曲線C，F(xiàn)₁、F₂分別曲線C的左、右焦點，則下列命題中：
（1）曲線C的焦點坐標(biāo)為F₁（-5，0）、F₂（5，0）；
（2）曲線C上存在一點M，使得S${\;}_{△{F}_{1}P{F}_{2}}$=9；
（3）P為曲線C上一點，P，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是一個直角三角形的三個頂點，且|PF₁|＞|PF₂|，$\frac{|P{F}_{1}|}{|P{F}_{2}|}$的值為$\frac{23}{9}$；
（4）設(shè)A（1，1），動點P在曲線C上，則|PA|-|PF₂|的最大值為$\sqrt{9-2\sqrt{7}}$；
其中正確命題的序號是（3）（4）．

Answer 1

分析 求出曲線C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1，x≠±4．
在（1）中，C的焦點坐標(biāo)為F₁（-$\sqrt{7}$，0）、F₂（$\sqrt{7}$，0）；在（2）中，（S${\;}_{△{F}_{1}P{F}_{2}}$）_max=3$\sqrt{7}$＜9；在（3）中，由橢圓定義得$\frac{|P{F}_{1}|}{|P{F}_{2}|}$的值為$\frac{23}{9}$；在（4）中，當(dāng)P，F(xiàn)₂，A共線時，|PA|-|PF₂|的最大值為|AF₂|．

解答 解：∵動點M（x，y）分別到兩定點（-4，0），（4，0）連線的斜率之積為-$\frac{9}{16}$，
∴$\frac{y}{x+4}•\frac{y}{x-4}$=-$\frac{9}{16}$，整理，得曲線C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1，x≠±4
在（1）中，∵F₁、F₂分別曲線C的左、右焦點，c=$\sqrt{16-9}$=$\sqrt{7}$，
∴線C的焦點坐標(biāo)為F₁（-$\sqrt{7}$，0）、F₂（$\sqrt{7}$，0），故（1）錯誤；
在（2）中，曲線C上存在一點M，（S${\;}_{△{F}_{1}P{F}_{2}}$）_max=$\frac{1}{2}×2c×b$=bc=3$\sqrt{7}$＜9，故（2）錯誤；
在（3）中，當(dāng)∠PF₂F₁=90°時，|PF₂|=$\frac{^{2}}{a}$=$\frac{9}{4}$，|PF₁|=8-$\frac{9}{4}$=$\frac{23}{4}$，$\frac{|P{F}_{1}|}{|P{F}_{2}|}$的值為$\frac{23}{9}$，故（3）正確；
在（4）中，當(dāng)P，F(xiàn)₂，A共線時，|PA|-|PF₂|的最大值為|AF₂|=$\sqrt{（1-0）^{2}+（1-\sqrt{7}）^{2}}$=$\sqrt{9-2\sqrt{7}}$，故（4）正確．
故答案為：（3）（4）．

點評 本題考查橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)、斜率計算公式，考查了轉(zhuǎn)化能力，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．