Question

（2010•武清區(qū)一模）如圖在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=1，PA⊥平面ABCD，E是PC的中點，F(xiàn)是AB的中點．
（1）求證：BE∥平面PDF；
（2）求證：平面PDF⊥平面PAB；
（3）求平面PAB與平面PCD所成的銳角．

Answer 1

分析：（1）取PD中點為M，連ME，MF．利用三角形的中位線定理和菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定定理可得四邊形MEBF是平行四邊形．
再利用線面平行的判定定理即可證明結(jié)論；
（2）利用菱形的性質(zhì)和正三角形的性質(zhì)可得DF⊥AB，再利用線面垂直的性質(zhì)定理可得PD⊥DF，利用線面垂直和面面垂直的判定定理即可證明；
（3）以A為原點，垂直于AD、AP的方向為x軸，AD、AP的方向分別為y軸、z軸建立空間直角坐標系，
利用兩個平面的法向量的夾角公式即可得到二面角．

解答：（1）證明：取PD中點為M，連ME，MF．
∵E是PC的中點，∴ME是△PCD的中位線．
∴ME

∥ .

.

1

2

CD．
∵F是AB中點且由于ABCD是菱形，AB

∥ .

.

CD．
∴ME

∥ .

.

FB，∴四邊形MEBF是平行四邊形．
∴BE∥MF．
∵BE?平面PDF，MF?平面PDF，∴BE∥平面PDF．
（2）∵PA⊥平面ABCD，DF?平面ABCD，∴DF⊥PA．
∵底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴△DAB為正三角形．
∵F是AB中點，∴DF⊥AB．
∵PA、AB是平面PAB內(nèi)的兩條相交直線，∴DF⊥平面PAB．
∵DF?平面PDF，∴平面PDF⊥平面PAB．
（3）以A為原點，垂直于AD、AP的方向為x軸，AD、AP的方向分別為y軸、z軸建立空間直角坐標系，
易知P（0，0，1），C（

3

，3，0），D（0，2，0），
F（

3

2

，

1

2

，0）．∴

DC

=(

3

，1，0)，

PD

=(0，2，-1)．
由（2）知DF⊥平面PAB，
∴

DF

=（

3

2

，-

3

2

，0）是平面PAB的一個法向量．
設平面PCD的一個法向量為

n

=（x，y，z）．
則

n • DC = 3 x+y=0 n • PD =2y-z=0

，令y=

3

，解得x=-1，z=2

3

，∴

n

=(-1，

3

，2

3

)．
設平面PAB與平面PCD所成的銳角為θ，
則cosθ=|cos＜

n

，

DF

＞|=

| n • DF |

| n | | DF |

=

1

2

．
∴θ=60⁰
∴平面PAB與平面PCD所成的銳角為60⁰．

點評：熟練掌握線面平行、線面垂直、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理、三角形的中位線定理、菱形的性質(zhì)定理、正三角形的性質(zhì)、通過建立空間直角坐標系利用兩個平面的法向量的夾角求二面角的方法等是解題的關鍵．