Question

某校對(duì)新擴(kuò)建的校園進(jìn)行綠化，移栽香樟和桂花兩種大樹各2株，若香樟的成活率為

4

5

，桂花的成活率為

3

4

，假設(shè)每棵樹成活與否是相互獨(dú)立的．求：
（Ⅰ）兩種樹各成活一株的概率；
（Ⅱ）設(shè)ξ表示成活的株數(shù)，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（I）利用n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)事件發(fā)生k次的概率公式求出“香樟成活一株”和“桂花成活一株”的概率；利用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率乘法公式求出兩種樹各成活一株的概率．
（II）判斷出ξ可取得值，利用互斥事件的概率公式及相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式求出隨機(jī)變量取每一個(gè)值的概率；
列出分布列；利用隨機(jī)變量的期望公式求出ξ的期望．

解答：解：（Ⅰ）記“香樟成活一株”為事件A，“桂花成活一株”為事件B．
則事件“兩種樹各成活一株”即為事件A•B.P(A)=

C

1 2

•

4

5

•

1

5

=

8

25

，P(B)=

C

1 2

•

3

4

•

1

4

=

3

8

由于事件A與B相互獨(dú)立，
因此，P(A•B)=P(A)•P(B)=

3

25

．（5分）
（Ⅱ）ξ表示成活的株數(shù)，
因此ξ可能的取值有0，1，2，3，4．
P(ξ=0)=(

1

5

)2•(

1

4

)2=

1

400

；（6分）
P(ξ=1)=

C

1 2

•

4

5

•

1

5

•(

1

4

)2+

C

1 2

•

3

4

•

1

4

•(

1

5

)2=

14

400

=

7

200

；（7分）P(ξ=2)=

3

25

+(

4

5

)2•(

1

4

)2+(

1

5

)2•(

3

4

)2=

73

400

；（8分）P(ξ=3)=

C

1 2

•

4

5

•

1

5

•(

3

4

)2+

C

1 2

•

3

4

•

1

4

•(

4

5

)2=

168

400

=

21

50

；（9分）
P(ξ=4)=(

4

5

)2•(

3

4

)2=

144

400

=

9

25

．（10分）
ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3	4
P	1 400	7 200	73 400	21 50	144 400

因此，Eξ=1×

14

400

+2×

73

400

+3×

168

400

+4×

144

400

=3.1（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率乘法公式、考查互斥事件的概率和公式、考查隨機(jī)變量的分布列的求法、考查隨機(jī)變量的期望公式．