Question

13．已知函數(shù)f（x）=（x-1）e^x-ax²，若y=f（cosx）在x∈[0，π]上有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≤-$\frac{2}{e}$．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的極值點(diǎn)，利用函數(shù)的零點(diǎn)列出不等式組求解即可．

解答 解：函數(shù)f（x）=（x-1）e^x-ax²，可得f′（x）=x（e^x-2a），
令x（e^x-2a）=0可得，x=0或e^x=2a，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，并且x=0是函數(shù)的一個(gè)極小值點(diǎn)，
并且f（0）=-1＜0，若y=f（cosx）在x∈[0，π]上有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，
也就是若y=f（x）在x∈[-1，1]上有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，
可得：$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）≥0}\\{f（1）≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-2{e}^{-1}-a≥0}\\{-a≥0}\end{array}\right.$，可得a$≤-\frac{2}{e}$．
當(dāng)a＞0可得：函數(shù)兩個(gè)極值點(diǎn)為：x=0，x=ln（2a），如果ln（2a）＜0，因?yàn)閒（0）＜0，可知不滿足題意；
如果ln（2a）＞0，必有可得：$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）≥0}\\{f（1）≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-2{e}^{-1}-a≥0}\\{-a≥0}\end{array}\right.$，可得a$≤-\frac{2}{e}$．與a＞0矛盾；
綜上：a≤-$\frac{2}{e}$
故答案為：a≤-$\frac{2}{e}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的極值的求法，考查分類討論思想以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．