Question

12．已知橢圓D與y軸交于上A、下B兩點(diǎn)，橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)F₁（0，1）、F₂（0，-1），直線y=4是橢圓的一條準(zhǔn)線．
（Ⅰ）求橢圓D的方程；
（Ⅱ）設(shè)以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，A為焦點(diǎn)的拋物線為C，若過點(diǎn)F₁的直線與C相交于不同M、N的兩點(diǎn)，求線段MN的中點(diǎn)Q的軌跡方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，橢圓的一條準(zhǔn)線方程．求出橢圓的幾何量，然后求解橢圓的方程；
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+1\\{x^2}=8y\end{array}\right.$，化簡(jiǎn)，設(shè)出A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），推出x₁+x₂=8k，y₁+，y₂，得到中點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)中點(diǎn)Q為（x，y），消去參數(shù)k，即可求軌跡方程．

解答 解：（Ⅰ）橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)F₁（0，1）、F₂（0，-1），直線y=4是橢圓的一條準(zhǔn)線．可得c=1，$\frac{{a}^{2}}{c}=4$，解得a=2，則b=$\sqrt{3}$，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)在y軸上．
橢圓的方程$\frac{y^2}{4}+\frac{x^2}{3}=1$；
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+1\\{x^2}=8y\end{array}\right.$得x²-8kx-8=0，（這里△≥0恒成立），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由韋達(dá)定理，得x₁+x₂=8k，${y_1}+{y_2}=k（{x_1}+{x_2}）+2=8{k^2}+2$，
所以中點(diǎn)坐標(biāo)為（4k，4k²+1），
設(shè)中點(diǎn)Q為（x，y），令$\left\{\begin{array}{l}x=4k\\ y=4{k^2}+1\end{array}\right.$，消去參數(shù)k，
得到x²=4（y-1）為所求軌跡方程．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．