Question

11．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若A=60°，△ABC面積為$\sqrt{3}$，則$\frac{{4{b^2}+4{c^2}-3{a^2}}}{b+c}$的最小值為5．

Answer 1

分析 由已知利用三角形面積公式可求bc=4，利用余弦定理，基本不等式可求a≥2，b+c=≥4，（當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立），化簡所求即可計(jì)算得解．

解答 解：∵A=60°，△ABC面積為$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc，
∴bc=4，
∴a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc=b²+c²-4≥2bc-4=4，可得：a≥2，（當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立），
∴b+c=$\sqrt{（b+c）^{2}}$=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}+2bc}$=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}+8}$≥$\sqrt{2bc+8}$=4，（當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立），

∴$\frac{{4{b^2}+4{c^2}-3{a^2}}}{b+c}$=$\frac{{a}^{2}+16}{b+c}$≤$\frac{{a}^{2}+16}{4}$=$\frac{{a}^{2}}{4}$+4≤5，（當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立），
可得$\frac{{4{b^2}+4{c^2}-3{a^2}}}{b+c}$的最小值為5．
故答案為：5．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角形面積公式，余弦定理，基本不等式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．