如圖，橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1，（a＞b＞0）經(jīng)過點（0，2），其左、右頂點分別是A、B，左、右焦點分別為F1、F2，P（異于A、B）是橢圓上的動點，連接PA、PB交直線x=5于M、N兩點，若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比數(shù)列．
（1）求此橢圓的離心率；
（2）求證：以線段MN為直徑的圓過點F2．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（1）由題意知a-c，2c，a+c成等比數(shù)列，由此能求出e=
c
a
=
5
5
，
（2）由e=
c
a
=
5
5
，橢圓過點（0，2），由此求出b=2，解得a=
5
，c=1，由此利用已知條件能證明以線段MN為直徑的圓過點F2．
解答： 解：（1）由題意知a-c，2c，a+c成等比數(shù)列，
∴（2c）2=（a+c）（a-c），
解得e=
c
a
=
5
5
，
（2）由e=
c
a
=
5
5
，橢圓過點（0，2），
∴b=2，解得a=
5
，c=1，
設(shè)P（x0，y0），由題意lPA：y=
y0
x0+
5
（x+
5
），
直線lPB：y=
y0
x0-
5
(x-
5
)，
解得M（5，
y0(5+
5
)
x0+
5
），N（5，
y0(5-
5
)
x0-
5
），
F2M•F2N=0，
故以線段MN為直徑的圓過點F2．
點評：本題考查橢圓離心率的求法，考查以線段MN為直徑的圓過點F2的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=（-3，2）與向量
b
=（x，-5）
（1）若向量
a
⊥向量
b
，求實數(shù)x的值； 
（2）若向量
a
與向量
b
的夾角為鈍角，求實數(shù)x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

求函數(shù)y=|1-
1
x
-
1
x-1
|最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知中心在原點O，左焦點為F1（-1，0）的橢圓C1的左頂點為A，上頂點為B，F(xiàn)1到直線AB的距離為
7
7
|OB|．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）若橢圓C1方程為：
x2
m2
+
y2
n2
=1（m＞n＞0），橢圓C2方程為：
x2
m2
+
y2
n2
=λ（λ＞0，且λ≠1），則稱橢圓C2是橢圓C1的λ倍相似橢圓．已知C2是橢圓C1的3倍相似橢圓，若直線y=kx+b與兩橢圓C1、C2交于四點（依次為P、Q、R、S），且
PS
+
RS
=2
QS
，試求動點E（k，b）的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

頂點在原點，焦點在y軸的拋物線經(jīng)過點A（1，
1
4
）．
（Ⅰ）求拋物線的焦點F的坐標(biāo)；
（Ⅱ）求拋物線在點A處的切線方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=
eax
x
，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）若f（x）是[1，+∞）上的增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)a=
1
2
時，求函數(shù)f（x）在[m，m+1]（m＞0）上的最小值；
（Ⅲ）求證：
n
i=1
1
i•(
e
)i
＜
7
2e
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)y=
4-x2
2
的圖象是曲線C．
（Ⅰ）在如圖的坐標(biāo)系中作出曲線C的示意圖，并標(biāo)出曲線C與x軸的左、右交點A1，A2；
（Ⅱ）設(shè)P是曲線C上位于第一象限的任意一點，過A2作A2R垂直于直線A1P于R，設(shè)A2R與曲線C交于Q，求直線PQ斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的導(dǎo)數(shù)，若f（x）=2f′（x），則
sin2x-cos2x
cos2x
的值是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知空間中不共面的四個點A、B、C、D，每2個點之間均可連一條線段，任意取出三條線段中，A、B、C、D四個點均在這三條線段的端點中的概率是
 
．

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同步練習(xí)冊答案