Question

如圖，某小區(qū)準(zhǔn)備在一直角圍墻ABC內(nèi)的空地上植造一塊“綠地△ABD”，其中AB長(zhǎng)為定值a，BD長(zhǎng)可根據(jù)需要進(jìn)行調(diào)節(jié)（BC足夠長(zhǎng)）．現(xiàn)規(guī)劃在△ABD的內(nèi)接正方形BEFG內(nèi)種花，其余地方種草，且把種草的面積S₁與種花的面積S₂的比值

S1

S2

稱為“草花比y”．
（Ⅰ）設(shè)∠DAB=θ，將y表示成θ的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）當(dāng)BE為多長(zhǎng)時(shí)，y有最小值，最小值是多少．

Answer 1

分析：（1）由于題目中“設(shè)∠DAB=θ，”，故可利用解三角形的知識(shí)解決“草花比y”；
（2）由于式子“y=

1

2

(tanθ+

1

tanθ

)≥1”括號(hào)中兩式的積是定值，故利用二元不等式求其最小值．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)锽D=atanθ，
所△ABD的面積為

1

2

a2tanθ（θ∈(0，

π

2

)） （2分）
設(shè)正方形BEFG的邊長(zhǎng)為t，則由

FG

AB

=

DG

DB

，
得

t

a

=

atanθ-t

atanθ

，（4分）
解得t=

atanθ

1+tanθ

，則S2=

a2tan2θ

(1+tanθ)2

（5分）
所以S1=

1

2

a2tanθ-S2，
則y=

s1

S2

=

(1+tanθ)2

2tanθ

-1（8分）
（Ⅱ）因?yàn)閠anθ∈（0，+∞），所以
y=

1

2

(tanθ+

1

tanθ

)≥1（10分）
當(dāng)且僅當(dāng)tanθ=1，時(shí)取等號(hào)，此時(shí)BE=

a

2

．
所以當(dāng)BE長(zhǎng)為

a

2

時(shí)，y有最小值1．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用、解三角形以及利用二元不等式求函數(shù)最值的方法，解決實(shí)際問(wèn)題通常有幾個(gè)步驟：（1）閱讀理解，認(rèn)真審題；（2）引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，建立數(shù)學(xué)模型；（3）利用數(shù)學(xué)的方法，得到數(shù)學(xué)結(jié)果，其中關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型．