Question

如圖，某小區(qū)準(zhǔn)備在一直角圍墻ABC內(nèi)的空地上植造一塊“綠地△ABD”，其中AB長(zhǎng)為定值a，BD長(zhǎng)可根據(jù)需要進(jìn)行調(diào)節(jié)（BC足夠長(zhǎng)）．現(xiàn)規(guī)劃在△ABD的內(nèi)接正方形BEFG內(nèi)種花，其余地方種草，且把種草的面積S₁與種花的面積S₂比

S1

S2

稱為“草花比y”．設(shè)∠DAB=θ，正方形BEFG的邊長(zhǎng)為x．
（1）用θ表示x．
（2）將y表示為θ的函數(shù)關(guān)系式；
（3）若θ∈[

π

4

，

π

3

]，求 y的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由于題目中“設(shè)∠DAB=θ，”，故可利用解三角形的知識(shí)解決“用θ表示x”；
（2）由（1）得S2=x2=(

a

1+ 1 tanθ

)2，再結(jié)合圖形中的面積關(guān)系即可將y表示為θ的函數(shù)關(guān)系式；
（3）因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">θ∈[

π

4

，

π

3

]

&令

tanθ=t∈[1，

3

]利用y=

1

2

(t+

1

t

)在[1，

3

]上為增函數(shù)即可求得y的取值范圍．

解答：解：（1）設(shè)正方形BEFG邊長(zhǎng)為x，則△AGF中，AG=

x

tanθ

，
于是有

x

tanθ

+x=a

&?x= a 1+ 1 tanθ

（2）由（1）得S2=x2=(

a

1+ 1 tanθ

)2
又S1=S△ABD-S2=

a2

2

tanθ-S2y=

S1

S2

=

a2 2 tanθ-S2

S2

=

1

2

tanθ(1+

1

tanθ

)2-1=

1

2

(tanθ+

1

tanθ

)
（3）因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">θ∈[

π

4

，

π

3

]

&令

tanθ=t∈[1，

3

]
則y=

1

2

(t+

1

t

)在[1，

3

]上為增函數(shù)
則y的取值范圍為[1，

2 3

3

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用、解三角形以及利用基本不等式求函數(shù)最值的方法，解決實(shí)際問題通常有幾個(gè)步驟：（1）閱讀理解，認(rèn)真審題；（2）引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，建立數(shù)學(xué)模型；（3）利用數(shù)學(xué)的方法，得到數(shù)學(xué)結(jié)果，其中關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型．