Question

已知函數(shù)f（x）=x-1-alnx（a∈R）．
（1）若曲線y=f（x）在x=1處的切線方程為3x-y=3，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若f（x）的值域?yàn)閇0，+∞），求a的值．

Answer 1

解：（1）求導(dǎo)函數(shù)，可得f′（x）=1-
∴f′（1）=1-a
∵曲線y=f（x）在x=1處的切線方程為3x-y=3，
∴1-a=3
∴a=-2；
（2）f′（x）=1-=（x＞0）
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，而f（1）=0
∴x∈（0，1）時(shí)，f（x）＜0與f（x）≥0恒成立矛盾
∴a≤0不合題意
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（0，a）上單調(diào)遞減，在（a，+∞）上單調(diào)遞增
∴f（x）≥f（a）=a-1-alna=0
∴a=1．
分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用曲線y=f（x）在x=1處的切線方程為3x-y=3，即可求實(shí)數(shù)a的值；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，分類討論：當(dāng)a≤0時(shí)，不合題意；當(dāng)a＞0時(shí)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可確定函數(shù)的最小值，利用f（x）的值域?yàn)閇0，+∞），即可求a的值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，解題的關(guān)鍵是正確求出導(dǎo)函數(shù)．