Question

如果橢圓

x2

36

+

y2

9

=1的弦被點(diǎn)（4，-2）平分，則這條弦所在的直線方程是

 

．

Answer 1

分析：設(shè)這條弦所在的直線與橢圓

x2

36

+

y2

9

=1交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由點(diǎn)（4，-2）是AB的中點(diǎn)，知x₁+x₂=8，y₁+y₂=-4，把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入x²+4y²=36，得k=

y1-y2

x1-x2

=

1

2

，由此能求出這條弦所在的直線方程．

解答：解：設(shè)這條弦所在的直線與橢圓

x2

36

+

y2

9

=1交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵點(diǎn)（4，-2）是AB的中點(diǎn)，
∴x₁+x₂=8，y₁+y₂=-4，
把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入x²+4y²=36，得

x12+4y12=36 x22+4y22=36

，
∴8（x₁-x₂）-16（y₁-y₂）=0，
∴k=

y1-y2

x1-x2

=

1

2

，
∴這條弦所在的直線方程是y+2=

1

2

（x-4），
即x-2y-8=0．
故答案為：x-2y-8=0．

點(diǎn)評：本題考查圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題，解題時(shí)要注意點(diǎn)差法的合理運(yùn)用．