Question

1．已知點(diǎn)O為線段AB=4的中點(diǎn)，C為平面上任一點(diǎn)，$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=0$（C與A，B不重合），若P為線段OC上的動(dòng)點(diǎn)，則$（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}）•\overrightarrow{PC}$的最小值是（　�。�

• A． 2
• B． 0
• C． -1
• D． -2

Answer 1

分析 根據(jù)基本不等式和向量的幾何意義即可求出．

解答 解：如圖，因?yàn)镺為AB的中點(diǎn)，所以$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=2\overrightarrow{PO}$，
從而$（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}）\;•\;\overrightarrow{PC}=2\overrightarrow{PO}\;•\;\overrightarrow{PC}$=$-2|\overrightarrow{PO}|\;•\;|\overrightarrow{PC}|≥$$-2{（{\frac{{|\overrightarrow{PO}|\;+\;|\overrightarrow{PC}|}}{2}}）^2}$．
因?yàn)镃A⊥CB，所以C的軌跡是以AB為直徑的圓，則OC=2．
又$|\overrightarrow{PO}|+\;|\overrightarrow{PC}|=|\overrightarrow{OC}|=2$為定值，
所以當(dāng)且僅當(dāng)$|\overrightarrow{PO}\;|=|\overrightarrow{PC}|=1$，即P為OC的中點(diǎn)時(shí)，
$（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}）\;•\;\overrightarrow{PC}$取得最小值-2，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查向量在幾何中的應(yīng)用以及基本不等式的應(yīng)用問題，是對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的考查，屬于基礎(chǔ)題目．