Question

13．已知f（x）=sin²x+cosx，x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，則f（x）的值域?yàn)閇$\frac{1}{4}$，$\frac{5}{4}$]．

Answer 1

分析 先可將原函數(shù)變成y=-（cosx-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{5}{4}$，而由x的范圍，根據(jù)余弦函數(shù)的圖象可求出，通過上面函數(shù)解析式即可求出其值域．

解答 解：y=1-cos²x+cosx=-（cosx-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{5}{4}$，
∵x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴cosx∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴-1≤cosx-$\frac{1}{2}$≤$\frac{1}{2}$，
∴-1≤-（cosx-$\frac{1}{2}$）²≤0
∴$\frac{1}{4}$≤$\frac{5}{4}$-（cosx-$\frac{1}{2}$）²≤$\frac{5}{4}$
∴原函數(shù)的值域?yàn)閇$\frac{1}{4}$，$\frac{5}{4}$]，
故答案為：[$\frac{1}{4}$，$\frac{5}{4}$]

點(diǎn)評 考查sin²x+cos²x=1，配方法求函數(shù)的最值，從而求出函數(shù)的值域，以及對余弦函數(shù)圖象的掌握，根據(jù)余弦函數(shù)的圖象求余弦函數(shù)的范圍．