Question

設(shè)拋物線y²=6x的焦點為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點，PA丄l，垂足為A，如果△APF為正三角形，那么|PF|等于（　　）

• A、4

  3

• B、6

  3

• C、6
• D、12

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：先根據(jù)拋物線方程求出焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，根據(jù)直線AF的斜率得到AF方程，與準(zhǔn)線方程聯(lián)立，解出A點坐標(biāo)，因為PA丄l，所以P點與A點縱坐標(biāo)相同，再代入拋物線方程求P點橫坐標(biāo)，利用拋物線的定義就可求出|PF|長．

解答：解：∵拋物線方程為y²=6x，
∴焦點F（1.5，0），準(zhǔn)線l方程為x=-1.5，
∵△APF為正三角形，
∴直線AF的斜率為-

3

，
∴直線AF的方程為y=-

3

（x-1.5），
與x=-1.5聯(lián)立，可得A點坐標(biāo)為（-1.5，3

3

）
∵PA⊥l，A為垂足，
∴P點縱坐標(biāo)為3

3

，代入拋物線方程，得P點坐標(biāo)為（4.5，3

3

），
∴|PF|=|PA|=4.5-（-1.5）=6
故選：C．

點評：本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)，定義的應(yīng)用，以及曲線交點的求法，屬于綜合題．