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在△ABC中，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對邊長，已知
2
sinA=
3cosA
．
（1）若a2-c2=b2-mbc，求實數m的值；
（2）若a=
3
，求△ABC面積的最大值．
分析：（1）把題設等式平方后利用同角三角函數基本關系整理成關于cosA，求得cosA的值．然后利用余弦定理求得m的值．
（2）由（1）中cosA，求得sinA，根據余弦定理求得a，b和c的不等式關系，進而利用三角形面積公式求得三角形面積的范圍．
解答：解：（1）由
2
sinA=
3cosA
兩邊平方得：
2sin2A=3cosA即（2cosA-1）（cosA+2）=0，
解得：cosA=
1
2
，
而a2-c2=b2-mbc可以變形為
b2+c2-a2
2bc
=
m
2
，
即cosA=
m
2
=
1
2
，所以m=1．
（2）由（1）知cosA=
1
2
，則sinA=
3
2
．
又
b2+c2-a2
2bc
=
1
2
，
所以bc=b2+c2-a2≥2bc-a2，即bc≤a2．
故S△ABC=
bc
2
sinA≤
a2
2
•
3
2
=
3
3
4
．
點評：本題主要考查了余弦定理的應用．解題的關鍵是通過余弦定理找到三角形邊角問題的聯(lián)系，找到解決的途徑．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊長分別是a、b、c．滿足2acosC+ccosA=b．則sinA+sinB的最大值是（　�。�
A、
2
2
B、1
C、
2
D、
1+
2
2

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科目：高中數學 來源： 題型：

在△ABC中，a＜b＜c，B=60°，面積為10
3
cm2，周長為20cm，求此三角形的各邊長．

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科目：高中數學 來源： 題型：

在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，已知
.
m
=(cos
C
2
，sin
C
2
)，
.
n
=(cos
C
2
，-sin
C
2
)，且
m
•
n
=
1
2
．
（1）求角C；
（2）若a+b=
11
2
，△ABC的面積S=
3
3
2
，求邊c的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

在△ABC中，A，B，C為三個內角，若cotA•cotB＞1，則△ABC是（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知y=f（x）函數的圖象是由y=sinx的圖象經過如下三步變換得到的：
①將y=sinx的圖象整體向左平移
π
6
個單位；
②將①中的圖象的縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的
1
2
；
③將②中的圖象的橫坐標不變，縱坐標伸長為原來的2倍．
（1）求f（x）的周期和對稱軸；
（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且f（C）=2，c=1，ab=2
3
，且a＞b，求a，b的值．

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