Question

如圖，將邊長為2的正六邊形ABCDEF沿對角線BE翻折，連接AC、FD，形成如圖所示的多面體，且AC=

6

．
（1）證明：平面ABEF⊥平面BCDE；
（2）求平面ABC與平面DEF所成二面角（銳角）的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）連結AC、BE，交點為G，由已知得AC⊥BE，且AG=CG=

3

，AG⊥GC，從而AG⊥平面BCDE，由此能證明平面ABEF⊥平面BCDE．
（2）以G為坐標原點，分別以GC，GE，GA所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，求出平面ABC的法向量和平面DEF的一個法向量，利用向量法能求出平面ABC與平面DEF所成二面角（銳角）的余弦值．

解答： 解：（1）證明：正六邊形ABCDEF中，連結AC、BE，交點為G，
∵ABCDEF是邊長為2的正六邊形，∴AC⊥BE，且AG=CG=

3

，
在多面體中，由AC=

6

，得AG²+CG²=AC²，
∴AG⊥GC，
又GC∩BE=G，GC，BE?平面BCDE，∴AG⊥平面BCDE，
又AG?平面ABEF，∴平面ABEF⊥平面BCDE．
（2）解：以G為坐標原點，分別以GC，GE，GA所在的直線為x軸，y軸，z軸，
建立空間直角坐標系，
由已知得AG=CG=

3

，BG=1，GE=3，
則A（0，0，

3

），B（0，-1，0），C（

3

，0，0），
D（

3

，2，0），E（0，3，0），F(xiàn)（0，2，

3

），

AB

=（0，-1，-

3

），

AC

=（

3

，0，-

3

），

FE

=（0，-1，

3

），

FD

=

AC

=（

3

，0，-

3

），
設平面ABC的法向量為

n

=（x，y，z），
則

n • AB =-y- 3 z=0 n • AC = 3 x- 3 z=0

，取z=1，得

n

=(1，-

3

，1)，

DE

=(-

3

，1，0)，

DF

=（-

3

，0，

3

），
設平面DEF的一個法向量為

m

=（a，b，c），
則

m • DE =- 3 a+b=0 n • DF =- 3 a+ 3 b=0

，取a=1，得

m

=（1，

3

，1），
設平面ABC與平面DEF所成二面角（銳角）為θ
cosθ=|cos＜

n

，

m

＞|=

| n • m |

| n |•| m |

=

1

5

，
∴平面ABC與平面DEF所成二面角（銳角）的余弦值為

1

5

．

點評：本題主要考查直線與平面之間的平行、垂直等位置關系，二面角的概念、求法等知識，以及空間想象能力和邏輯推理能力．