Question

已知{a_n}是等差數(shù)列，{b_n}是等比數(shù)列，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，a₁=b₁=1，且b₃s₃=36，b₂s₂=8（n∈N⁺）．
（1）求a_n和b_n；
（2）若a_n＜a_n+1，求數(shù)列

1 anan+1

的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，等比數(shù)列{b_n}的公比為q，由題意

b3S3=36 b2S2=8

，a₁=b₁=1，利用通項(xiàng)公式可 得

q2(3+3d)=36 q(2+d)=8

  解出即可；
（2）由a_n＜a_n+1，可知d＞0．由（1）可知：a_n=2n-1．可得

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用裂項(xiàng)求和即可得到T_n．

解答：解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，等比數(shù)列{b_n}的公比為q，
由題意

b3S3=36 b2S2=8

，a₁=b₁=1，得

q2(3+3d)=36 q(2+d)=8

  
  解得

d=2 q=2

或

d=- 2 3 q=6

．
所以，a_n=2n-1，bn=2n-1或an=-

2

3

n+

5

3

，bn=6n-1．
（2）因?yàn)閍_n＜a_n+1，所以d＞0，故a_n=2n-1．
所以，

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
故T_n=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

n

2n+1

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)求和是解題的關(guān)鍵．