已知
i
=(1,0),
jn
=(cos2
2
,sin
2
),
Pn
=(an,sin
2
)(n∈N+),數(shù)列{an}
滿(mǎn)足:a1=1,a2=1,an+2=(i+
jn
)•
Pn

(I)求證:數(shù)列{a2k-1}是等差數(shù);數(shù)列{a2k}是等比數(shù)列;(其中k∈N*);
(II)記an=f(n),對(duì)任意的正整數(shù)n≥2,不等式(cosnπ)[f(n2)-λf(2n)]≤0,求λ的取值范圍.
分析:(I)由an+2=(
i
+
jn
)•
Pn
=(1+cos2
2
)an+sin
2
,知a2k+1-a2k-1=1.由此能夠證明數(shù)列{a2k}是首項(xiàng)為2、公比為2的等比數(shù)列.
(II)由a2k-1=k,a2k=2k,知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=
n+1
2
,n=2k-1(k∈N*)
2
n
2
,n=2k(k∈N*).
,由此能夠求出λ的取值范圍是[
5
8
,1]
解答:解:(I)an+2=(
i
+
jn
)•
Pn
=[(1,0)+(cos2
2
,sin
2
)]•(an,sin
2
)=(1+cos2
2
,sin
2
)•(an,sin
2
)

=(1+cos2
2
)an+sin
2
,…(2分)
當(dāng)n=2k-1(k∈N*)時(shí),
a2k+1=[1+cos2
(2k-1)π
2
]a2k-1+sin2
2k-1
2
π
=a2k-1+1,即a2k+1-a2k-1=1.
所以數(shù)列{a2k-1}是首項(xiàng)為1、公差為1的等差數(shù)列,…(4分)當(dāng)n=2k(k∈N*)時(shí),a2k+2=(1+cos2
2kπ
2
)a2k+sin2
2kπ
2
=2a2k

所以數(shù)列{a2k}是首項(xiàng)為2、公比為2的等比數(shù)列,…(6分)
(II)由(I)可知:a2k-1=k,a2k=2k
故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=
n+1
2
,n=2k-1(k∈N*)
2
n
2
,n=2k(k∈N*).
…(7分)
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),(cosnπ)[f(n2)-λf(2n)]≥0?λ≥
f(n2)
f(2n)
=
n2+1
2n+1

令g(n)=
n2+1
2n-1
⇒g(n+1)-g(n)=
2n-n2
2n
<0⇒g(n+1)<g(n)
所以g(n)為單調(diào)遞減函數(shù),∴g(n)max=g(3)=
5
8
⇒λ≥
5
8
…(10分)
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),(cosnπ)[f(n2)-λf(2n)]≥0?λ≤
f(n2)
f(2n)
=2
(n-1)2-1
2

令h(n)=2
(n-1)2-1
2
,顯然h(n)為單調(diào)遞增函數(shù),
h(n)min=h(2)=1⇒λ≤1
綜上,λ的取值范圍是[
5
8
,1]
…(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列的綜合運(yùn)用,解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意挖掘題設(shè)中的隱含條件,合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知
i
=(1,0),
j
=(0,1),
a
=
i
-2
j
b
=
i
+m
j
,給出下列說(shuō)法:
①若
a
b
的夾角為銳角,則m<
1
2
;
②當(dāng)且僅當(dāng)m=
1
2
時(shí),
a
b
互相垂直;
a
b
不可能是方向相反的兩個(gè)向量;
④若|
a
|=|
b
|
,則m=-2.
其中正確的序號(hào)是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2009•浦東新區(qū)二模)已知
i
=(1,0),
c
=(0,
2
)
,若過(guò)定點(diǎn)A(0,
2
)
、以
i
c
(λ∈R)為法向量的直線(xiàn)l1與過(guò)點(diǎn)B(0,-
2
)
c
i
為法向量的直線(xiàn)l2相交于動(dòng)點(diǎn)P.
(1)求直線(xiàn)l1和l2的方程;
(2)求直線(xiàn)l1和l2的斜率之積k1k2的值,并證明必存在兩個(gè)定點(diǎn)E,F(xiàn),使得|
PE
|+|
PF
|
恒為定值;
(3)在(2)的條件下,若M,N是l:x=2
2
上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且
EM
FN
=0
,試問(wèn)當(dāng)|MN|取最小值時(shí),向量
EM
+
FN
EF
是否平行,并說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知
i
=(1,0),
jn
=(cos2
2
,sin
2
),
Pn
=(an,sin
2
)(n∈N+),數(shù)列{an}
滿(mǎn)足:a1=1,a2=1,an+2=(i+
jn
)•
Pn

(I)求證:數(shù)列{a2k-1}是等差數(shù);數(shù)列{a2k}是等比數(shù)列;(其中k∈N*);
(II)記an=f(n),對(duì)任意的正整數(shù)n≥2,不等式(cosnπ)[f(n2)-λf(2n)]≤0,求λ的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

已知
i
=(1,0),
j
=(0,1),
a
=
i
-2
j
,
b
=
i
+m
j
,給出下列說(shuō)法:
①若
a
b
的夾角為銳角,則m<
1
2
;
②當(dāng)且僅當(dāng)m=
1
2
時(shí),
a
b
互相垂直;
a
b
不可能是方向相反的兩個(gè)向量;
④若|
a
|=|
b
|
,則m=-2.
其中正確的序號(hào)是( 。
A.①②③B.①②③④C.②④D.②③

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