Question

12．$f（x）=ax-\frac{1}{x}，g（x）=lnx，a∈R$是常數(shù)．
（Ⅰ）求曲線y=g（x）在點(diǎn)P（1，g（1））處的切線l．
（Ⅱ）是否存在常數(shù)a，使l也是曲線y=f（x）的一條切線．若存在，求a的值；若不存在，簡要說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出切點(diǎn)和函數(shù)g（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由點(diǎn)斜式方程可得切線的方程；
（Ⅱ）設(shè)y=f（x）在x=x_o處的切線為l，求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，由切點(diǎn)的特點(diǎn)滿足切線方程和曲線方程，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，解方程可得切點(diǎn)和a的值，即可判斷是否存在．

解答 解：（Ⅰ）由題意知，g（1）=0，
又g′（x）=$\frac{1}{x}$，可得切線的斜率為g′（1）=1，
所以直線l的方程為y=x-1．
（Ⅱ）設(shè)y=f（x）在x=x_o處的切線為l，
f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=a+$\frac{1}{{x}^{2}}$，
則有$\left\{{\begin{array}{l}{a{x_o}-\frac{1}{x_o}={x_o}-1}\\{a+\frac{1}{x_o^2}=1}\end{array}}\right.$，
解得$\left\{{\begin{array}{l}{{x_o}=2}\\{a=\frac{3}{4}}\end{array}}\right.$，
此時(shí)f（2）=1，
即當(dāng)$a=\frac{3}{4}$時(shí)，l是曲線y=f（x）在點(diǎn)Q（2，1）的切線．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程，考查存在性問題的解法，設(shè)出切點(diǎn)和運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義是解題的關(guān)鍵．