Question

2．如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，點E在棱PB上．
（1）求證：AC⊥平面PDB
（2）當PD=$\sqrt{2}$AB=2，設E為PB的中點，求AE與平面ABCD所成角．

Answer 1

分析 （1）根據題意證明AC⊥BD，PD⊥AC，可得AC⊥平面PDB；
（2）根據直線和平面所成角的定義找出直線和平面所成的角，即可得到結論．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵PD⊥底面ABCD，AC?底面ABCD，
∴PD⊥AC，
又BD∩PD=D，
∴AC⊥平面PDB，（3分）
（2）解：設AC∩BD=O，連接OE，由（1）知AC⊥平面PDB于O，
又O，E分別為DB、PB的中點，
∴OE∥PD，OE=$\frac{1}{2}$PD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵PD⊥底面ABCD，
∴OE⊥底面ABCD，
則∴∠EAO為AE與平面ABCD所的角，
∵PD=$\sqrt{2}$AB=2，
∴PD=2，AB=$\sqrt{2}$，
在Rt△AOE中，OE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵AB=$\sqrt{2}$，
∴A0=1，
∵AB=AO，
∴∠AEO=45°，（7分）
即AE與平面PDB所成的角的大小為45°．

點評 本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及直線與平面所成的角，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于中檔題．