Question

16．（理）如圖在四面體OABC中，OA，OB，OC兩兩垂直，且OB=OC=3，OA=4，給出如下判斷：
①存在點(diǎn)D（O點(diǎn)除外），使得四面體DABC有三個(gè)面是直角三角形；
②存在點(diǎn)D，使得點(diǎn)O在四面體DABC外接球的球面上；
③存在唯一的點(diǎn)D使得OD⊥平面ABC；
④存在點(diǎn)D，使得四面體DABC是正棱錐；
⑤存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)D，使得AD與BC垂直且相等．
其中正確命題的序號(hào)是①②④⑤（把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)填上）．

Answer 1

分析 ①，取D為長方體的一個(gè)頂點(diǎn)，使得A，B，C是與D相鄰的三個(gè)頂點(diǎn)，則可使四面體ABCD有3個(gè)面是直角三角形；
②，取同①的點(diǎn)D，使得點(diǎn)O與D為相對(duì)的兩個(gè)長方體的頂點(diǎn)，利用長方體一定有外接球即可得出；
③，過O可以作一條直線與面ABC垂直，點(diǎn)D可以是該直線上任意點(diǎn)；
④，作△CBD為正三角形，使得AD=DB，則點(diǎn)D使四面體ABCD是正三棱錐．
⑤過點(diǎn)A作BC的垂面，垂面內(nèi)過AD的每一條都垂直BC，；

解答 解：對(duì)于①，取D為長方體的一個(gè)頂點(diǎn)，使得A，B，C是與D相鄰的三個(gè)頂點(diǎn)，則可使四面體ABCD有3個(gè)面是直角三角形，故正確；
對(duì)于②，∵二面角C-OA-B為直二面角，∴∠BOC=Rt∠，再取同①的點(diǎn)D，使得點(diǎn)O與D為相對(duì)的兩個(gè)長方體的頂點(diǎn)，則點(diǎn)O在四面體ABCD的外接球球面上，故正確；
對(duì)于③，過O可以作一條直線與面ABC垂直，點(diǎn)D可以是該直線上任意點(diǎn)，故錯(cuò)
④作△CBD為正三角形，使得AD=DB，則點(diǎn)D使四面體ABCD是正三棱錐，故正確．
⑤過點(diǎn)A作BC的垂面，垂面內(nèi)過AD的每一條都垂直BC，故正確；
故答案為：①②④⑤

點(diǎn)評(píng) 本題考查了長方體的性質(zhì)、四面體的性質(zhì)、線面垂直的判定與性質(zhì)，考查了推理能力和空間想象能力，屬于中檔題