Question

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-x²+ax．
（1）若函數(shù)f（x）在（0，1]上單調(diào)遞增，試求a的取值范圍；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)C（x₀，f（x₀））（x₀為非零常數(shù)）處的切線為l，證明：函數(shù)f（x）圖象上的點(diǎn)都不在直線l的上方．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出函數(shù)的切線，利用函數(shù)的最值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，即可的得到結(jié)論．

解答： 解：（1）f′（x）=-

2x2-ax-1

x

，
要使f（x）在（0，1]上單調(diào)遞增，f'（x）在（0，e）內(nèi)必有零點(diǎn)且在零點(diǎn)左右異號，
即h（x）=2x²-ax-1在（0，e）內(nèi)有零點(diǎn)且在零點(diǎn)左右異號．   
因?yàn)椤?a²+8＞0，
所以方程2x²-ax-1=0有兩個不等的實(shí)數(shù)根x₁，x₂，由于x₁x₂=-

1

2

＜0，
不妨設(shè)x₁＜0，x₂＞0，所以x₁＜0，x₂∈（0，e），
由h（x）圖象可知：h（0）h（e）＜0，
即2e²-ae-1＞0，解得 a＜2e-

1

e

．
（2）因?yàn)閒′（x₀）=

1

x0

-2x₀+a，
又切點(diǎn)C（x₀，lnx₀-x02+ax₀），所以切線l的方程為y-（lnx₀-x02+ax₀）=（

1

x0

-2x₀+a）（x-x₀），
即y=（

1

x0

-2x₀+a）x-1+x02+ln?x₀，（x₀為常數(shù)）．
令g（x）=f（x）-[（

1

x0

-2x₀+a）x-1+x02+ln?x₀]，
則g（x）=ln?x-x2-[（

1

x0

-2x₀）x-1+x02+ln?x₀]，
則g′（x）=

1

x

-2x-（

1

x0

-2x₀）=-（x-x₀）（

2xx0+1

xx0

）=-

2(x-x0)(x+ 1 2x0 )

x

，
因?yàn)閤₀＞0，x，g′（x），g（x）的關(guān)系如下表：

x	（0，x0）	x0	（x0，+∞）
g′（x）	+	0	-
g（x）	↗	極大值	↘

因?yàn)間（x）≤g（x₀）=0，所以函數(shù)f（x）圖象上不存在位于直線l上方的點(diǎn)．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．