Question

已知等差數(shù)列{a_n}各項(xiàng)都不相同，前3項(xiàng)和為18，且a₁、a₃、a₇成等比數(shù)列
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足b_n+1-b_n=a_n（n∈N^*），且b₁=2，求數(shù)列{

1

bn

}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，得 a₁+a₂+a₃=3a₂=18，解得a₂=6，再由a₁、a₃、a₇成等比數(shù)列，建立關(guān)于公差d的方程并解之得d=2，由等差數(shù)列通項(xiàng)公式即可算出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）利用逐項(xiàng)作差、累加求和的方法，結(jié)合等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式算出b_n=n（n+1），得到

1

bn

關(guān)于n的表達(dá)式并化簡(jiǎn)得

1

bn

=

1

n

-

1

n+1

，利用裂項(xiàng)相消法求和可得數(shù)列{

1

bn

}的前n項(xiàng)和T_n的表達(dá)式．

解答：解：（1）依題意，得
 a₁+a₂+a₃=18，即3a₂=18，解得a₂=6
設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，可知d≠0
可得a32=a1a7，即（6+d）²=（6-d）（6+5d）
解之得 d=2
∴a_n=a₂+（n-2）d=2（n+1），即數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2（n+1）；
（2）由已知b_n+1-b_n=a_n
∴當(dāng)n≥2時(shí)，b_n-b_n-1=a_n-1=2n，所以可知

bn-1-bn-2=2(n-1) … b2-b1=2×2 b1=2×1

以上各式進(jìn)行累加，可得b_n=2（1+2+3+…+n）=n（n+1）
又∵b₁=2=1×（1+1），也滿(mǎn)足b_n=n（n+1）
∴可知當(dāng)n∈N^*時(shí)，b_n=n（n+1）
因此

1

bn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
可得Tn=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出等差數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足的條件，求它的表達(dá)式并依此求數(shù)列{

1

bn

}的前n項(xiàng)和T_n．著重考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式和裂項(xiàng)相消法求和等知識(shí)，屬于中檔題．