Question

20．甲乙丙三人在進(jìn)行一項(xiàng)投擲骰子游戲中規(guī)定：若擲出1點(diǎn)，甲得1分，若擲出2點(diǎn)或3點(diǎn)，乙得1分；若擲出4點(diǎn)或5點(diǎn)或6點(diǎn)，丙得1分，前后共擲3次，設(shè)x，y，z分別表示甲、乙、丙三人的得分．
（1）求x=0，y=1，z=2的概率；
（2）記ξ=x+z，求隨機(jī)變量ξ的概率分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）設(shè)事件A表示“投擲一次骰子甲得一分”，事件B表示“投擲一次骰子乙得一分”，事件C表示“投擲一次骰子丙得一分”，由已知得P（A）=$\frac{1}{6}$，P（B）=$\frac{1}{3}$，P（C）=$\frac{1}{2}$，從而能求出x=0，y=1，z=2的概率．
（2）X=0，1，2，3； Y=0，1，2，3； Z=0，1，2，3．但是只得3次分，因而必須滿足X+Y+Z=3，隨機(jī)變量ξ的樣本空間為{0，1，2，3}，事實(shí)上ξ=3-Y，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）設(shè)事件A表示“投擲一次骰子甲得一分”，事件B表示“投擲一次骰子乙得一分”，事件C表示“投擲一次骰子丙得一分”，
則P（A）=$\frac{1}{6}$，P（B）=$\frac{1}{3}$，P（C）=$\frac{1}{2}$，
∴x=0，y=1，z=2的概率p=（$\frac{5}{6}$）³C${\;}_{3}^{1}$（$\frac{1}{3}$）（$\frac{2}{3}$）²${C}_{3}^{2}（\frac{1}{2}）^{2}（\frac{1}{2}）$=$\frac{125}{1296}$．
（2）X=0，1，2，3； Y=0，1，2，3； Z=0，1，2，3．
但是只得3次分，因而必須滿足X+Y+Z=3，隨機(jī)變量ξ的樣本空間為{0，1，2，3}
事實(shí)上ξ=3-Y，
∴P（ξ=0）=P（Y=3）=（$\frac{1}{3}$）³=$\frac{1}{27}$，
P（ξ=1）=P（Y=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{1}{3}）^{2}（\frac{2}{3}）$=$\frac{2}{9}$，
P（ξ=2）=P（Y=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{1}{3}）（\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{4}{9}$，
P（ξ=3）=P（Y=0）=（$\frac{2}{3}$）³=$\frac{8}{27}$，
∴ξ的分布列：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{27}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{8}{27}$

E（ξ）=$0×\frac{1}{27}+1×\frac{2}{9}+2×\frac{4}{9}+3×\frac{8}{27}$=2．

點(diǎn)評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意n次重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率計算公式的合理運(yùn)用．