Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-3x+（a-1）lnx，g（x）=ax，h（x）=f（x）-g（x）+3x．
（1）當a=5時，求函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）的最小值；
（2）當a=3時，求函數(shù)h（x）的單調(diào)區(qū)間及極值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求出函數(shù)的最小值即可；（2）求出h（x）的導(dǎo)數(shù)，得到h（x）的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的極值即可．

解答 解：（1）f′（x）=x+$\frac{a-1}{x}$-3，其中x＞0．
因為a=5，又x＞0，所以$x+\frac{4}{x}-3≥4-3=1$，
當且僅當x=2時取等號，其最小值為1；…（4分）
（2）當a=3時，h（x）=$\frac{1}{2}$x²+2lnx-3x，
h′（x）=x+$\frac{2}{x}$-3=$\frac{（x-1）（x-2）}{x}$，…（6分）
x，h′（x），h（x）的變化如下表：

x	（0，1）	1	（1，2）	2	（2，+∞）
h′（x）	+	0	-	0	+
h（x）	遞增	-$\frac{5}{2}$	遞減	2ln2-4	遞增

函數(shù)h（x）在x=1處取得極大值-$\frac{5}{2}$，在x=2處取得極小值2ln2-4．…（12分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．