Question

如圖所示，P為△ABC所在平面外一點，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F．求證：（1）BC⊥平面PAB；
（2）AE⊥平面PBC；
（3）PC⊥EF．

Answer 1

證明：（1）∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC．
∵AB⊥BC，AB∩PA=A，
∴BC⊥平面PAB．
（2）∵BC⊥平面PAB，AE?平面PAB，∴BC⊥AE．∵PB⊥AE，BC∩PB=B，∴AE⊥平面PBC．
（3）∵AE⊥平面PBC，PC?平面PBC，∴AE⊥PC，∵AF⊥PC，AE∩AF=A，∴PC⊥平面AEF．
而EF?面AEF，∴PC⊥EF．
分析：（1）由線面垂直的性質得PA⊥BC，又AB⊥BC，從而證得BC⊥平面PAB．
（2）由線面垂直的性質可得BC⊥AE，PB⊥AE，從而證得AE⊥平面PBC．
（3）由線面垂直的性質可得AE⊥PC，又AF⊥PC，從而證得 PC⊥平面AEF，故PC⊥EF．
點評：本題考查證明線線垂直、線面垂直的方法，證明AE⊥平面PBC，是解題的關鍵．