Question

已知函數(shù)y=（log₂x-2）（log₂x-

1

2

），2≤x≤8．
（1）令t=log₂x，求y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的范圍；
（2）求該函數(shù)的值域．

Answer 1

分析：（1）由于2≤x≤8，令t=log₂x，則t∈[1，3]，由此可得y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式．
（2）由于t∈[1，3]，且y=(t-

5

4

)2+

9

16

，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)y的值域．

解答：解：（1）由于2≤x≤8，令t=log₂x，則t∈[1，3]，且y=（t-2）（t-

1

2

）=t²-

5

2

t+1．
（2）由于t∈[1，3]，且y=t²-

5

2

t+1=(t-

5

4

)2+

9

16

，
故當(dāng)t=3時(shí)，函數(shù)y取得最大值為

5

2

，當(dāng)t=

5

4

時(shí)，函數(shù)取得最小值為-

9

16

，故函數(shù)的值域?yàn)閇-

9

16

，

5

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．