Question

在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC．
（Ⅰ）求A的大��；
（Ⅱ）求sinB+sinC的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)正弦定理，設(shè)，把sinA，sinB，sinC代入2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC求出a²=b²+c²+bc
再與余弦定理聯(lián)立方程，可求出cosA的值，進(jìn)而求出A的值．
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）中A的值，可知c=60°-B，化簡得sin（60°+B）根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，得出最大值．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)
則a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC
∵2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC
方程兩邊同乘以2R
∴2a²=（2b+c）b+（2c+b）c
整理得a²=b²+c²+bc
∵由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA
故cosA=-，A=120°
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：sinB+sinC
=sinB+sin（60°-B）
=cosB+sinB
=sin（60°+B）
故當(dāng)B=30°時，sinB+sinC取得最大值1．
點(diǎn)評：本題主要考查了余弦函數(shù)的應(yīng)用．其主要用來解決三角形中邊、角問題，故應(yīng)熟練掌握．