如圖正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面邊長為2,側(cè)棱長為,
經(jīng)過對角線AB1的平面交棱A1C1于點D.
(Ⅰ)試確定D點的位置使平面AB1D∥BC1,并證明你的結(jié)論;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,求二面角A1-AB1-D的大小.

【答案】分析:(Ⅰ)由圖形判斷知,D為A1C1中點時平面AB1D∥BC1,證明用線面平行的判定定理即可.
(II)在圖形中作出二面角的平面角,要充分利用已有的結(jié)論,作DM⊥A1B1于M,連接ME,證出角MED即平面角.
解答:解:(Ⅰ)D為棱A1C1中點時平面AB1D∥BC1,證明如下:
連接AB1,與線AB1交于點E,
∵正三棱柱ABC-A1B1C1
∴E是中點,又D中點,
故DE是三角形A1BC1的中位線,故DE∥BC1
又BC1不在平面AB1D內(nèi),DE在面AB1D內(nèi),
由線面平行的判定定理知平面AB1D∥BC1
(II)若D是中點,由題設(shè)條件AD=,B1D=,
在等腰直角三角形B1DA中,E是斜邊中點,故DE⊥AB1,計算得AB1=,故DE=
作DM⊥A1B1于M,連接ME,因為正三棱柱ABC-A1B1C1中,
所以DM⊥面AA1B1B,即DM⊥AB1,所以面DME⊥AB1,
所以∠MED即二面角的平面角,由D是中點,所以DM=
在直角三角形DME中,sin∠MED===
所以∠MED=
點評:考查正三棱柱的幾何性質(zhì)、線面平行的判定定理、二面角的求法,技巧性強,對空間想象力要求較高.
練習(xí)冊系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖正三棱柱ABC-A1B1C1,AA1=
2
,AB=2,若N為棱AB中點.
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2
,
經(jīng)過對角線AB1的平面交棱A1C1于點D.
(Ⅰ)試確定D點的位置使平面AB1D∥BC1,并證明你的結(jié)論;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,求二面角A1-AB1-D的大小.

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3
,高為2,一只螞蟻要從頂點A沿三棱柱的表面爬到頂點C′,若側(cè)面AA′C′C緊貼墻面(不能通行),則爬行的最短路程是( 。

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a2
,在側(cè)棱CC1上截取CE=a,過A,D,E作棱柱的截面.
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(2)求截面ADE與底面ABC所成的角.

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(本題滿分12分) 如圖,正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱長均為2,P是側(cè)棱AA1上任意一點.

(1)求證:B1P不可能與平面ACC1A1垂直;

(2)當(dāng)BC1⊥B1P時,求線段AP的長;

(3)在(2)的條件下,求二面角CB1PC1的大小.

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