Question

1．有下列命題：
①雙曲線$\frac{{x}^{2}}{25}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1與橢圓$\frac{x^2}{35}+{y^2}=1$有相同的焦點(diǎn)；
②“$-\frac{1}{2}＜x＜0$”是“2x²-5x-3＜0”的必要不充分條件；
③對于函數(shù)f（x）=x³-3x²，f（0）=0是極大值，f（2）=-4是極小值；
④?x∈R，x²-3x+3≠0．
其中真命題的序號是①③④．

Answer 1

分析 ①求出雙曲線和橢圓的焦點(diǎn)進(jìn)行判斷．
②根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．
③求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的極值即可．
④根據(jù)一元二次方程的根與判別式△的關(guān)系進(jìn)行求解．

解答 解：①雙曲線$\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{9}=1$中a²=25，b²=9，則c²=25+9=34，則c=$\sqrt{34}$，對應(yīng)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（$\sqrt{34}$，0），（-$\sqrt{34}$，0），
橢圓$\frac{x^2}{35}+{y^2}=1$中a²=35，b²=1，則c²=35-1=34則c=$\sqrt{34}$，對應(yīng)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（$\sqrt{34}$，0），（-$\sqrt{34}$，0），
雙曲線和橢圓的焦點(diǎn)相同；故①正確，
②由2x²-5x-3＜0得-$\frac{1}{2}$＜x＜3，
則“-$\frac{1}{2}$＜x＜0”是“2x²-5x-3＜0”充分不必要條件；故②錯誤，
③函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=3x²-6x=3x（x-2），由f′（x）＞0得x＞2或x＜0，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
由f′（x）＜0得0＜x＜2，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
則x=0時，函數(shù)取得極大值f（0）=0，
當(dāng)x=2時，函數(shù)取得極小值f（2）=-4，故③正確；
④∵判別式△=9-4×3=9-12=-3＜0，
∴?x∈R，x²-3x+3≠0成立，故⑤正確，
故正確的命題是①③④，
故答案為：①③④

點(diǎn)評 本題主要考查的真假判斷，涉及圓錐曲線的定義和性質(zhì)以及充分條件和必要條件的判斷，涉及的知識點(diǎn)較多．